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Question

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) है,हम जांचते हैं कि क्या उसके प्रांत में सभी $x$ के लिए उसका अ

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = \log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$

Vedclass · Answer

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) है,हम जांचते हैं कि क्या उसके प्रांत में सभी $x$ के लिए उसका अवकलज $f'(x) \ge 0$ है।विकल्प $A$ के लिए: $f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$। $x > -1$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान है।विकल्प $B$ के लिए: $g'(x) = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - 1 - x^2}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$। यह $x = \pm 1$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।विकल्प $C$ के लिए: $h'(x) = -4 \sin x + 1$। यह $\sin x$ के आधार पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।विकल्प $D$ के लिए: $u'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-1}{(x+1)^2} = \frac{x}{(x+1)^2}$। यह $x = 0$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।अतः,सही विकल्प $A$ है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन अपने प्रांत में एकदिष्ट वर्धमान है?

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = e^{2x}$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ पर निरंतर वर्धमान है।

$x$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x) = 2 \log_e(x - 2) - x^2 + 4x + 1$ वर्धमान है:

माना $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$,$x \in (-\infty, \infty)$ के लिए। किस अंतराल के लिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है?

वह अधिकतम अंतराल जिसमें वक्र $y=x^4+5x^3+9x^2+6x+2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल बढ़ती है, है

फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ है

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