मान लीजिए $f: W \rightarrow W$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = n-1$ यदि $n$ विषम है और $f(n) = n+1$ यदि $n$ सम है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ,$W$ सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है।

(A) यह दिया गया है कि $f: W \rightarrow W$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} n-1 & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ n+1 & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $f(n) = f(m)$।
यदि $n$ विषम और $m$ सम है,तो $n-1 = m+1 \Rightarrow n-m = 2$। यह असंभव है क्योंकि एक विषम और एक सम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है। इसी प्रकार,$n$ का सम और $m$ का विषम होना भी असंभव है।
इसलिए,$n$ और $m$ की समता (parity) समान होनी चाहिए।
यदि दोनों विषम हैं,तो $n-1 = m-1 \Rightarrow n = m$।
यदि दोनों सम हैं,तो $n+1 = m+1 \Rightarrow n = m$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
सह-प्रांत में कोई भी विषम संख्या $2r+1$ प्रांत में किसी संख्या का प्रतिबिंब है। प्रत्येक $m \in W$ के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,$f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
मान लीजिए $g: W \rightarrow W$ को $g(m) = \begin{cases} m+1 & \text{यदि } m \text{ सम है} \\ m-1 & \text{यदि } m \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम देखते हैं कि सभी $n \in W$ के लिए $f(f(n)) = n$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $f(n) = n-1$ (सम),इसलिए $f(f(n)) = f(n-1) = (n-1)+1 = n$।
यदि $n$ सम है,तो $f(n) = n+1$ (विषम),इसलिए $f(f(n)) = f(n+1) = (n+1)-1 = n$।
अतः,$f \circ f = I_W$,जिसका अर्थ है कि $f^{-1} = f$।