ધારો કે $f: W \rightarrow W$ એ $f(n) = n-1$ જો $n$ એકી હોય અને $f(n) = n+1$ જો $n$ બેકી હોય,તે રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત છે. $f$ નો વ્યસ્ત શોધો. અહીં,$W$ એ તમામ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $f: W \rightarrow W$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} n-1 & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ n+1 & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$
એક-એક (one-one) માટે:
ધારો કે $f(n) = f(m)$.
જો $n$ એકી અને $m$ બેકી હોય,તો $n-1 = m+1 \Rightarrow n-m = 2$. આ અશક્ય છે કારણ કે એકી અને બેકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે. તેવી જ રીતે,$n$ બેકી અને $m$ એકી હોવું પણ અશક્ય છે.
તેથી,$n$ અને $m$ બંનેની સમાનતા (parity) સમાન હોવી જોઈએ.
જો બંને એકી હોય,તો $n-1 = m-1 \Rightarrow n = m$.
જો બંને બેકી હોય,તો $n+1 = m+1 \Rightarrow n = m$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત (onto) માટે:
સહ-પ્રદેશમાં કોઈપણ એકી સંખ્યા $2r+1$ એ પ્રદેશમાં કોઈક સંખ્યાનું પ્રતિબિંબ છે. દરેક $m \in W$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે વ્યસ્ત છે.
ધારો કે $g: W \rightarrow W$ એ $g(m) = \begin{cases} m+1 & \text{જો } m \text{ બેકી હોય} \\ m-1 & \text{જો } m \text{ એકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે તમામ $n \in W$ માટે $f(f(n)) = n$ થાય છે.
જો $n$ એકી હોય,તો $f(n) = n-1$ (બેકી),તેથી $f(f(n)) = f(n-1) = (n-1)+1 = n$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $f(n) = n+1$ (એકી),તેથી $f(f(n)) = f(n+1) = (n+1)-1 = n$.
આમ,$f \circ f = I_W$,જે સૂચવે છે કે $f^{-1} = f$.