मान लीजिए $A=\{-1, 0, 1, 2\}$ और $B=\{-4, -2, 0, 2\}$ हैं। मान लीजिए $f, g: A \rightarrow B$ ऐसे फलन हैं जो $x \in A$ के लिए $f(x)=x^{2}-x$ और $x \in A$ के लिए $g(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$ द्वारा परिभाषित हैं। क्या $f$ और $g$ समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
दो फलन $f$ और $g$ समान कहलाते हैं यदि सभी $a \in A$ के लिए $f(a) = g(a)$ हो।
$x = -1$ के लिए:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(-1) = g(-1)$ है।
$x = 0$ के लिए:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(0) = g(0)$ है।
$x = 1$ के लिए:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(1) = g(1)$ है।
$x = 2$ के लिए:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(2) = g(2)$ है।
चूंकि सभी $a \in A$ के लिए $f(a) = g(a)$ है,इसलिए फलन $f$ और $g$ समान हैं।
$x = -1$ के लिए:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(-1) = g(-1)$ है।
$x = 0$ के लिए:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(0) = g(0)$ है।
$x = 1$ के लिए:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(1) = g(1)$ है।
$x = 2$ के लिए:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(2) = g(2)$ है।
चूंकि सभी $a \in A$ के लिए $f(a) = g(a)$ है,इसलिए फलन $f$ और $g$ समान हैं।
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$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
मान लीजिए $a, b, c, d \in R$ हैं। फलन $h: R \rightarrow R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ और $d=0$ है,तो | $(1)$ $h$ एकैकी (one-one) है |
| $(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ और $d=0$ है,तो | $(2)$ $h$ आच्छादक (onto) है |
| $(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ और $d=0$ है,तो | $(3)$ $h$ $R$ पर अवकलनीय है |
| $(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ और $d=1$ है,तो | $(4)$ $h$ का परिसर $[0,1]$ है |
| $(5)$ $h$ का परिसर $\{0,1\}$ है |
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