ધારો કે $S$ એ $G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો છે,$P$ એ ગુણાકાર છે અને $R$ એ વ્યસ્તોનો સરવાળો છે. સાબિત કરો કે $P^{2} R^{n} = S^{n}$.

ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^{2}, \ldots, ar^{n-1}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$S = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^{2}) \cdots (ar^{n-1}) = a^{n} r^{1+2+\ldots+(n-1)}$
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^{2}} + \cdots + \frac{1}{ar^{n-1}}$
$R = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \cdots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{\frac{1(r^{n}-1)}{r-1}}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)}$
હવે,$P^{2} R^{n}$ ધ્યાનમાં લો:
$P^{2} R^{n} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} \times \left( \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = a^{2n} r^{n(n-1)} \times \frac{(r^{n}-1)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)} (r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \frac{a^{n} (r^{n}-1)^{n}}{(r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \left( \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = S^{n}$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.