मान लीजिए lambda neq 0,mathbb{R} में है। यदि | vedclass

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Question

(D) समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=2\lambda$ है। समीकरण $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{10}{

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$18$

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(D) समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=2\lambda$ है। समीकरण $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ और $\alpha\gamma=9\lambda$ है। मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$। मूलों के गुणनफल का भाग देने पर: $\frac{\alpha\gamma}{\alpha\beta}=\frac{9\lambda}{2\lambda}$ $\Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2}$ $\Rightarrow \gamma=\frac{9}{2}\beta$। $\gamma$ का मान $\gamma-\beta=\frac{7}{3}$ में रखने पर: $\frac{9}{2}\beta-\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{7}{2}\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$। अतः $\gamma=\frac{9}{2} 	imes \frac{2}{3}=3$। चूंकि $\alpha+\beta=1$,इसलिए $\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$। $\alpha\beta=2\lambda$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} 	imes \frac{2}{3}=2\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$। अंत में,$\frac{\beta\gamma}{\lambda}=\frac{(2/3) 	imes 3}{1/9}=18$।

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