ધારો કે $x=4$ એ એક ઉપવલયની નિયામિકા છે જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. જો $P(1, \beta), \beta>0$ એ આ ઉપવલય પરનું બિંદુ હોય,તો $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1, 3)$ નું સ્થાન શું છે?

એક ઉપવલયમાં,તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને ગૌણ અક્ષ $8$ છે. તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ પર બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ $\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. $\theta$ ની કઈ કિંમત માટે આ સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય છે?

$c$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=4x+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ ને સ્પર્શે છે?

જો $\alpha, \beta$ એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ ની નાભિસ્થ જીવા (મુખ્ય અક્ષ સિવાય) ના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ હોય,તો $\sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} =$