मान लीजिए a_1, a_2, a_3 कोई भी धनात्मक वास्तव | vedclass

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Question

(D) हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,$AM \ge GM \ge HM$ होता है।$1$.

Vedclass · Accepted Answer

$(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3 \le 27$

Vedclass · Answer

(D) हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,$AM \ge GM \ge HM$ होता है।$1$. विकल्प $(A)$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}{3} \ge \sqrt[3]{a_1^3 a_2^3 a_3^3} = a_1 a_2 a_3$ है,जिसका अर्थ है $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \ge 3a_1 a_2 a_3$। यह कथन सत्य है।$2$. विकल्प $(B)$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \frac{a_3}{a_1}} = \sqrt[3]{1} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} \ge 3$। यह कथन सत्य है।$3$. विकल्प $(C)$ के लिए: $AM \ge HM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}}$ है,जिसका अर्थ है $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$। यह कथन सत्य है।$4$. विकल्प $(D)$ के लिए: चूंकि $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$ है,इसलिए व्यंजक $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3$ सामान्यतः $\ge 9 \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^2$ होगा,जो आवश्यक रूप से $\le 27$ नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सत्य नहीं है।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3$ कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

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