मान लीजिए b_1, b_2, dots, b_n एक गुणोत्तर श्र | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए प्रथम पद $b_1$ है और सार्व अनुपात $r$ है।दिया गया है $b_1 + b_2 = 1$,अतः $b_1 + b_1 r = 1$,जिसका अर्थ है $b_1(1 + r) = 1$,इसलिए $b_1 = \

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$2 + \sqrt{2}$

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(C) मान लीजिए प्रथम पद $b_1$ है और सार्व अनुपात $r$ है।दिया गया है $b_1 + b_2 = 1$,अतः $b_1 + b_1 r = 1$,जिसका अर्थ है $b_1(1 + r) = 1$,इसलिए $b_1 = \frac{1}{1 + r}$।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{b_1}{1 - r} = 2$ होता है।$b_1 = \frac{1}{1 + r}$ को योग के सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{(1 + r)(1 - r)} = 2$।इसे सरल करने पर $\frac{1}{1 - r^2} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - r^2 = \frac{1}{2}$,इसलिए $r^2 = \frac{1}{2}$,यानी $r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$।चूंकि $b_2 = b_1 r  0$ होता है,जो $b_2 यदि $r = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ लेते हैं,तो $b_1 = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।तब $b_2 = b_1 r = (2 + \sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - 1 अतः,$b_1 = 2 + \sqrt{2}$।

मान लीजिए $b_1, b_2, \dots, b_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है ताकि $b_1 + b_2 = 1$ और $\sum_{k=1}^{\infty} b_k = 2$ हो। यदि $b_2 < 0$ दिया गया है,तो $b_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य (geometric means) डाले जाते हैं,तो $n^{th}$ गुणोत्तर माध्य होगा:

निम्नलिखित $A.P.$ (समांतर श्रेणी) का $25$ वाँ उभयनिष्ठ पद ज्ञात कीजिए:
$S_1 = 1, 6, 11, .....$
$S_2 = 3, 7, 11, .....$

यदि $|x| < 1, |y| < 1$ और $x \neq y$ है,तो निम्नलिखित श्रेणी का अनंत तक योग $(x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ ज्ञात कीजिए।

यदि $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 2009^2 = (2009)(335)(4019)$ और $(1)(2009) + 2(2008) + 3(2007) + \dots + 2009(1) = (2009)(335)(x)$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $a, b, c, d \in R^+$ इस प्रकार हैं कि $256 abcd \geq (a+b+c+d)^4$ और $3a + b + 2c + 5d = 11$ है। तो $a^3 + b + c^2 + 5d$ का मान ज्ञात कीजिए:

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