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Question

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) के अनुसार,$\frac{a+b+c+d}{4} \geq (abcd)^{1/4}$ होता है।दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,$\frac{(a+b

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$8$

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(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) के अनुसार,$\frac{a+b+c+d}{4} \geq (abcd)^{1/4}$ होता है।दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,$\frac{(a+b+c+d)^4}{256} \geq abcd$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(a+b+c+d)^4 \leq 256 abcd$ है।दी गई शर्त $256 abcd \geq (a+b+c+d)^4$ है,जो $AM$-$GM$ असमिका का विपरीत है।समानता तभी संभव है जब $a = b = c = d$ हो।दिए गए समीकरण $3a + b + 2c + 5d = 11$ में $a = b = c = d = k$ रखने पर,$3k + k + 2k + 5k = 11$ प्राप्त होता है,जिसे हल करने पर $11k = 11$ अर्थात $k = 1$ मिलता है।अतः,$a = b = c = d = 1$ है।अब $a^3 + b + c^2 + 5d$ में इन मानों को रखने पर,$1^3 + 1 + 1^2 + 5(1) = 1 + 1 + 1 + 5 = 8$ प्राप्त होता है।

माना $a, b, c, d \in R^+$ इस प्रकार हैं कि $256 abcd \geq (a+b+c+d)^4$ और $3a + b + 2c + 5d = 11$ है। तो $a^3 + b + c^2 + 5d$ का मान ज्ञात कीजिए:

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