माना y=y(x) अवकल समीकरण cos x(3 sin x+cos x+3 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ है।इसे $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ से विभाजित करने पर,

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$2 \log _{e}\left(\frac{2 \sqrt{3}+10}{11}\right)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ है।इसे $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx} - (	an x)y = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -	an x$ और $Q(x) = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -	an x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x$ ($x \in [0, \pi/2)$ के लिए)।हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।$y \cos x = \int \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)} \cdot \cos x dx + C = \int \frac{dx}{3 \sin x+\cos x+3} + C$।$t = 	an(x/2)$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$।$y \cos x = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{3(2t/(1+t^2)) + (1-t^2)/(1+t^2) + 3} + C = \int \frac{2 dt}{6t + 1 - t^2 + 3 + 3t^2} + C = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 4} + C = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} + C$।$y \cos x = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)} + C = \int (\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}) dt + C = \ln|\frac{t+1}{t+2}| + C$।$y \cos x = \ln|\frac{	an(x/2)+1}{	an(x/2)+2}| + C$।$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \ln(1/2) + C \Rightarrow C = \ln 2$।$y \cos x = \ln(\frac{1+	an(x/2)}{2+	an(x/2)}) + \ln 2 = \ln(\frac{2(1+	an(x/2))}{2+	an(x/2)})$।$x = \pi/3$ के लिए,$	an(x/2) = 	an(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$।$y(1/2) = \ln(\frac{2(1+1/\sqrt{3})}{2+1/\sqrt{3}}) = \ln(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}+1})$।विकल्पों की जाँच करने पर,सही उत्तर $2 \ln(\frac{2\sqrt{3}+10}{11})$ है।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ का हल है; $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, y(0)=0$। तो,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ..... है।

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