मान लीजिए f:[-1,1] rightarrow R को f(x)=ax^{2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.$f(-1) = a - b + c = 2$ --- $(1)$$f^{\prime}(x) = 2ax + b \Rightarrow f^{\prime}(-1) = -2a + b = 1$ --- $(2)$$f

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$5$

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(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.$f(-1) = a - b + c = 2$ --- $(1)$$f^{\prime}(x) = 2ax + b \Rightarrow f^{\prime}(-1) = -2a + b = 1$ --- $(2)$$f^{\prime\prime}(x) = 2a$.$f^{\prime\prime}(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{4}$.समीकरण $(2)$ में $a = \frac{1}{4}$ रखने पर: $-2(\frac{1}{4}) + b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$.समीकरण $(1)$ में $a$ और $b$ का मान रखने पर: $\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + c = 2 \Rightarrow \frac{1-6}{4} + c = 2 \Rightarrow c = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.अतः,$f(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}$.$[-1, 1]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं की जाँच करते हैं।$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है,जो $[-1, 1]$ के बाहर है।चूँकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।अतः,अधिकतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।$f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + \frac{3}{2}(1) + \frac{13}{4} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} + \frac{13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.चूँकि $f(x) \leq \alpha$ है,इसलिए $\alpha$ का न्यूनतम मान $5$ है।

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