मान लीजिए f, R पर परिभाषित कोई फलन है और यह श | vedclass

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Question

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x 
eq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x

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$f(x) > 0, \forall x \in R$

Vedclass · Answer

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x 
eq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \leq |x - y|$ प्राप्त होता है।$x 	o y$ सीमा लेने पर,हमें $\lim_{x 	o y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \leq \lim_{x 	o y} |x - y|$ प्राप्त होता है।यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \leq 0$ है।चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।वह फलन जिसका अवकलज हर जगह शून्य होता है,एक अचर फलन होता है,इसलिए $f(x) = C$ है।$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।चूंकि $1 > 0$,इसलिए सही कथन $f(x) > 0, \forall x \in R$ है।

मान लीजिए $f, R$ पर परिभाषित कोई फलन है और यह शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$,सभी $(x, y) \in R$ के लिए संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 1$ है,तो:

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$f(x) = x|x|$ का अवकलज क्या है?

मान लीजिए कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज (anti-derivative) है। तो वह फलन जिसके लिए $\log _e(1+(g(x))^2)+c$ एक प्रति-अवकलज है, वह है:

$x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: $\sin (\log x), x > 0$

यदि $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$ है,तो $f'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ एक स्थिरांक है,तो $x$ के सापेक्ष $\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

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