मान लीजिए f(x) = cos left(2 tan ^{-1} sin lef | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}ight)ight)$.मान लीजिए $	heta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1

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$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}ight)ight)$.मान लीजिए $	heta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. तब $\cot 	heta = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$,जिसका अर्थ है $	an 	heta = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$.सर्वसमिका $\sin 	heta = \frac{	an 	heta}{\sqrt{1+	an^2 	heta}} = \frac{\sqrt{x/(1-x)}}{\sqrt{1+x/(1-x)}} = \sqrt{x}$ का उपयोग करने पर.अतः,$\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} = \sin ^{-1} \sqrt{x}$.इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sqrt{x}ight)$.सर्वसमिका $2 	an ^{-1} u = \cos ^{-1} \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}ight)$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}ight)ight) = \frac{1-x}{1+x}$.अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.अब विकल्पों की जाँच करते हैं। $(1-x)^2 f^{\prime}(x) + 2(f(x))^2$ पर विचार करें:$(1-x)^2 \left(\frac{-2}{(1+x)^2}ight) + 2 \left(\frac{1-x}{1+x}ight)^2 = \frac{-2(1-x)^2}{(1+x)^2} + \frac{2(1-x)^2}{(1+x)^2} = 0$.अतः,$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$ सही है।

मान लीजिए $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$,$0 < x < 1$ के लिए। तो :

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मान लीजिए $S = \{ x : \cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) \}$ है। तो $\sum_{x \in S} (2x - 1)^2$ का मान . . . . . . है।

योगफल ज्ञात कीजिए: $\sum_{k=1}^{2026} \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$।

$\cos ^{-1} \frac{3}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \tan ^{-1} \frac{16}{63} = $

$\tan \left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}+\tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) = $

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