मान लीजिए S = { x : cos^{-1} x = pi + sin^{-1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$ है।सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,ह

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(A) दिया गया समीकरण $\cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$ है।सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos^{-1} x$ को $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ के रूप में लिख सकते हैं।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $-2 \sin^{-1} x - \sin^{-1}(2x + 1) = \frac{\pi}{2}$,या $2 \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$.मान लीजिए $\sin^{-1} x = 	heta$,तो $x = \sin 	heta$। समीकरण $2	heta + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$ बन जाता है।$\sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2} - 2	heta$.दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $2x + 1 = \sin(-\frac{\pi}{2} - 2	heta) = -\cos(2	heta)$.$2x + 1 = -(1 - 2\sin^2 	heta) = 2\sin^2 	heta - 1$.चूंकि $x = \sin 	heta$,हमारे पास $2x + 1 = 2x^2 - 1$ है,जो $2x^2 - 2x - 2 = 0$ या $x^2 - x - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।चूंकि $\sin^{-1} x$ का डोमेन $[-1, 1]$ है और $\sin^{-1}(2x + 1)$ के लिए $-1 \le 2x + 1 \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 0$ होना आवश्यक है,इसलिए केवल $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ मान्य है।$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ के लिए,$2x - 1 = 1 - \sqrt{5} - 1 = -\sqrt{5}$।अतः,$(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$।

मान लीजिए $S = \{ x : \cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) \}$ है। तो $\sum_{x \in S} (2x - 1)^2$ का मान . . . . . . है।

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