ધારો કે y(x) એ વિકલ સમીકરણ 2 x^{2} dy + (e^{y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.ધારો કે $z = e^{-y}$,તો $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ છે.ઉકેલ: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$z = e^{-y}$ હોવાથી,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$y(e) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x = e$ અને $y = 1$ મૂકતા: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.આમ,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$,$x > 0$ નો ઉકેલ છે. જો $y(e) = 1$ હોય,તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x, (x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(2)=2$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ એક વિકલનીય વાસ્તવિક વિધેય છે જેથી તમામ $x$ માટે $f(x) + f'(x) \le 1$ અને $f(0)=0$ થાય છે. $f(1)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત શું છે?

જો $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$ હોય,તો $x^3 y^{-3}$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module