मान लीजिए कि y(x) अवकल समीकरण 2 x^{2} dy + (e | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow

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$\log_{e} 2$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.मान लीजिए $z = e^{-y}$,तो $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ है।हल: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.चूंकि $z = e^{-y}$,इसलिए $x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$y(e) = 1$ दिया गया है,इसलिए $x = e$ और $y = 1$ रखने पर: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.अतः,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

मान लीजिए कि $y(x)$ अवकल समीकरण $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$,$x > 0$ का हल है। यदि $y(e) = 1$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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