ધારો કે $B$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ નું કેન્દ્ર છે. ધારો કે વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $A(3,1)$ માં છેદે છે. તો $8 \left(\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ}\right)$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $(-9, 4)$ માંથી પસાર થતા અને રેખાઓ $x+y=3$ અને $x-y=3$ ને સ્પર્શતા બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓના વર્ગોનો તફાવત (absolute difference) . . . . . . છે.

જો બે વર્તુળોમાં,સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ $30^{\circ}$ અને $78^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શું થાય?

$1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ માં અંતઃસ્થિત છે. $C$ ના બાજુઓ $PQ, QR, RP$ સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E, F$ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ છે અને બિંદુ $D$ એ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે. વધુમાં,આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ અને $C$ નું કેન્દ્ર રેખા $PQ$ ની એક જ બાજુએ છે.
$1.$ વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ છે
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ બિંદુઓ $E$ અને $F$ છે
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ બાજુઓ $QR, RP$ ના સમીકરણો છે
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

બિંદુ $(4, 5)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. આ સ્પર્શકો અને ત્રિજ્યાઓ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ .............. $sq. \text{ units}$ છે.

બિંદુ $(2,-1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળ $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં સ્પર્શે છે. જો $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?