ધારો કે f:[0, infty) rightarrow [0, infty) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) =

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $[0, \infty)$ માં દરેક બિંદુએ સતત છે અને પૂર્ણાંક બિંદુઓ સિવાય વિકલનીય છે.

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$. $f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$. $n = [x]$ હોવાથી,$f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$. કોઈપણ પૂર્ણાંક $x=n$ પર,ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ છે. લક્ષ સમાન હોવાથી,$f(x)$ એ તમામ $x \geq 0$ માટે સતત છે. જોકે,વિકલન $f'(x) = [x]$ એ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x 	o n^-} f'(x) = n-1$ અને $\lim_{x 	o n^+} f'(x) = n$. તેથી,$f$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી.

Similar Questions

જો વિધેય $f(x) = \frac{2\sqrt{2} - (\cos x + \sin x)^3}{1 - \sin 2x}$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સતત હોય, તો $f(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો...

જેના માટે વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{(4^x - 1)^3}{\sin(\frac{x}{p}) \log(1 + \frac{x^2}{3})}, & x \ne 0 \\ 12(\log 4)^3, & x = 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તેવા $p$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ હોય,તો $f(x)$ કયા બિંદુએ સતત છે? (જ્યાં $[x]$ એ $x$ નું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module