ધારો કે f: R rightarrow R એ f(x+y)+f(x-y)=2 f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ છે.આ એક જાણીતું કોશી-પ્રકારનું વિધેય સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = \cos(ax)$ છે.આપેલ છે કે $f\left(\fr

Vedclass · Accepted Answer

$\operatorname{cosec}^{2}(1) \operatorname{cosec}(21) \sin (20)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ છે.આ એક જાણીતું કોશી-પ્રકારનું વિધેય સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = \cos(ax)$ છે.આપેલ છે કે $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,તેથી $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,એટલે કે $a = 2(2n+1)\pi$.કોઈપણ પૂર્ણાંક $k$ માટે,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.આમ,પદાવલિ $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ બને છે.નિત્યસમ $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ નો ઉપયોગ કરતા.$k=1$ થી $20$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ મળે છે.$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ અને $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

જો $\phi (x) = a^x$ હોય,તો $\{ \phi (p) \} ^3$ કોના બરાબર થાય?

$f(f(x))=x+f(x)$ નું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક સુરેખ વિધેયો $f(x)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(3x) - f(x) = x$ થાય. જો $f(8) = 7$ હોય,તો $f(14)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = x - \frac{1}{x}$, $x \neq 0$ હોય, તો $3f(x) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module