मान लीजिए hat{a} और hat{b} दो इकाई सदिश इस प् | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} 	imes \hat{b})|=2$। चूंकि $(\hat{a}+\hat{b}) \perp (\hat{a} 	imes \hat{b})$,इसलिए $|\hat{a}+\hat{b}|^2

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$(S_{1})$ और $(S_{2})$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} 	imes \hat{b})|=2$। चूंकि $(\hat{a}+\hat{b}) \perp (\hat{a} 	imes \hat{b})$,इसलिए $|\hat{a}+\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} 	imes \hat{b}|^2 = 4$ है।$|\hat{a}+\hat{b}|^2 = 2+2\cos	heta$ और $|\hat{a} 	imes \hat{b}|^2 = \sin^2	heta = 1-\cos^2	heta$ का उपयोग करने पर:$2+2\cos	heta + 4(1-\cos^2	heta) = 4$$2+2\cos	heta + 4 - 4\cos^2	heta = 4$$4\cos^2	heta - 2\cos	heta - 2 = 0 \implies 2\cos^2	heta - \cos	heta - 1 = 0$।$(2\cos	heta+1)(\cos	heta-1) = 0$।चूंकि $	heta \in (0, \pi)$,इसलिए $\cos	heta = -\frac{1}{2}$,अतः $	heta = \frac{2\pi}{3}$।$(S_{1})$ के लिए: $2|\hat{a} 	imes \hat{b}| = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$।$|\hat{a}-\hat{b}| = \sqrt{1+1-2\cos(\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2-2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{3}$। अतः $(S_{1})$ सत्य है।$(S_{2})$ के लिए: $(\hat{a}+\hat{b})$ पर $\hat{a}$ का प्रक्षेप $\frac{\hat{a} \cdot (\hat{a}+\hat{b})}{|\hat{a}+\hat{b}|} = \frac{1+\cos	heta}{\sqrt{2+2\cos	heta}} = \frac{1-\frac{1}{2}}{\sqrt{2-1}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$। अतः $(S_{2})$ सत्य है।

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