मान लीजिए f : R rightarrow R को f(x) = x^{3} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x - 5$.सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए ह

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$\frac{1}{49}$

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(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x - 5$.सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है।दिया गया है $f(g(x)) = x$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$।$g^{\prime}(63)$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $x$ ज्ञात करना होगा जिसके लिए $f(x) = 63$ हो।$x^{3} + x - 5 = 63 \Rightarrow x^{3} + x - 68 = 0$.निरीक्षण द्वारा,$x = 4$ रखने पर,$4^{3} + 4 - 5 = 64 + 4 - 5 = 63$ प्राप्त होता है। अतः,$g(63) = 4$ है।अब,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{f^{\prime}(g(63))} = \frac{1}{f^{\prime}(4)}$।चूंकि $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$,इसलिए $f^{\prime}(4) = 3(4)^{2} + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49$ है।अतः,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{49}$।

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