मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ और $g : R \rightarrow R$ दो फलन हैं जो $f(x)=\log _{e}(x^{2}+1)-e^{-x}+1$ और $g(x)=\frac{1-2e^{2x}}{e^{x}}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो,$\alpha$ के किस अंतराल के लिए असमिका $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ सत्य है?

मान लीजिए $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $1990 < f(1990) < 2100$ और समीकरण $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। तो $f(1990)$ के संभावित मानों की संख्या है

यदि $f: R-\{0\} \rightarrow R$ को $f(x)=x+\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यदि $k \geq 1$ के लिए $f^k(x)=[f(x)]^k$ है,तो $f^4(x)-f(x^4)-4f^2(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $R^{+}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $R$ के उपसमुच्चयों $A$ और $B$ के लिए, $f: A \rightarrow B$ को $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित करें, जहाँ $x \in A$ है। नीचे दी गई सूचियों का मिलान करें:
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है, यदि | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है, यदि | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है, यदि | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है, यदि | $4$. $A = B = R^{+}$ |

माना $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ है। माना $R$ समुच्चय $A \times A$ पर एक संबंध है जो $(x, y) R (z, w)$ द्वारा परिभाषित है यदि और केवल यदि $x, z$ को विभाजित करता है और $y \le w$ है। तो $R$ में अवयवों की संख्या . . . . . . है।

यदि $a+\alpha=1, b+\beta=2$ और $x \neq 0$ के लिए $af(x)+\alpha f\left(\frac{1}{x}\right)=bx+\frac{\beta}{x}$ है,तो व्यंजक $\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}}$ का मान ..... है।