मान लीजिए कि f(x) एक द्विघात बहुपद है जिसका अ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = x^2 + bx + c$ है। चूँकि अग्रणी गुणांक $1$ है और $f(0) = p$,इसलिए $c = p$ है। अतः,$f(x) = x^2 + bx + p$ है।दिया गया है कि $f(1) =

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(A) मान लीजिए $f(x) = x^2 + bx + c$ है। चूँकि अग्रणी गुणांक $1$ है और $f(0) = p$,इसलिए $c = p$ है। अतः,$f(x) = x^2 + bx + p$ है।दिया गया है कि $f(1) = 1 + b + p = \frac{1}{3}$,इसलिए $b = \frac{1}{3} - 1 - p = -\frac{2}{3} - p$ है।मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $f(x) = 0$ और $f(f(f(f(x)))) = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है। चूँकि $f(\alpha) = 0$,इसलिए $f(f(f(f(\alpha)))) = f(f(f(0))) = f(f(p)) = 0$ है।इसका अर्थ है कि $f(p)$ को $f(x) = 0$ का मूल होना चाहिए,इसलिए $f(f(p)) = 0$ का अर्थ है कि $f(p) = \alpha$ या $f(p) = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।चूँकि $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$,इसलिए $f(0) = \alpha \beta = p$ है।साथ ही,$f(1) = (1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$ है।यदि $f(p) = \alpha$ है,तो $(p-\alpha)(p-\beta) = \alpha$ होगा। $p = \alpha \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,$(\alpha \beta - \alpha)(\alpha \beta - \beta) = \alpha$ प्राप्त होता है।$\alpha(\beta-1) \beta(\alpha-1) = \alpha$। चूँकि $\alpha 
eq 0$,इसलिए $(\beta-1)(\alpha-1)\beta = 1$ है।हम जानते हैं कि $(1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$,इसलिए $(\alpha-1)(\beta-1) = \frac{1}{3}$ है।इस मान को समीकरण में रखने पर,$\frac{1}{3} \beta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 3$ है।तब $(1-\alpha)(1-3) = \frac{1}{3} \Rightarrow -2(1-\alpha) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-\alpha = -\frac{1}{6} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{6}$ है।अतः,$f(x) = (x-\frac{7}{6})(x-3)$ है।अंत में,$f(-3) = (-3 - \frac{7}{6})(-3 - 3) = (-\frac{25}{6})(-6) = 25$ है।

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