मान लीजिए कि P वह समतल है जिसमें रेखा frac{x- | vedclass

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Question

(C) माना समतल $P$ का समीकरण $a(x-3) + b(y+4) + c(z-7) = 0$ है। चूंकि यह $(9, -1, -5)$ दिक-अनुपात वाली रेखा को समाहित करता है,इसलिए $9a - b - 5c = 0$ ह

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$\frac{32}{3}$

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(C) माना समतल $P$ का समीकरण $a(x-3) + b(y+4) + c(z-7) = 0$ है। चूंकि यह $(9, -1, -5)$ दिक-अनुपात वाली रेखा को समाहित करता है,इसलिए $9a - b - 5c = 0$ है। समतल $P$,$\vec{v_1} = (2, 3, 5)$ और $\vec{v_2} = (3, 7, 8)$ दिक-सदिशों वाली रेखाओं को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है। इस दूसरे समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = (-11, -1, 5)$ है। चूंकि $P$ इस समतल के लंबवत है,इसका अभिलंब $\vec{n_1} = (a, b, c)$,$\vec{n_2}$ के लंबवत है,अतः $-11a - b + 5c = 0$ है। $9a - b - 5c = 0$ और $-11a - b + 5c = 0$ को हल करने पर,हमें $a = -b$ और $c = -2b$ प्राप्त होता है। $b = -1$ लेने पर,$a = 1$ और $c = 2$ प्राप्त होता है। अतः अभिलंब सदिश $(1, -1, 2)$ है। समतल $P$ का समीकरण $1(x-3) - 1(y+4) + 2(z-7) = 0$ अर्थात $x - y + 2z = 21$ है। बिंदु $(2, -5, 11)$ से समतल $x - y + 2z - 21 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2 - (-5) + 2(11) - 21|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ है। अतः,$d^2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$.

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यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

समतलों $x = ay + b$ और $z = cy + d$ के प्रतिच्छेदन रेखा का सममित रूप क्या है?

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