मान लीजिए कि M और N वक्र y^{5}-9xy+2x=0 पर उन | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{5}-9xy+2x=0$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$. $\frac{dy}{dx}$ के ल

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$2$

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(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{5}-9xy+2x=0$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$. $\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx}(5y^{4} - 9x) = 9y - 2$. $\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 2}{5y^{4} - 9x}$. स्पर्शरेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $9y - 2 = 0$,इसलिए $y = \frac{2}{9}$. मूल समीकरण में $y = \frac{2}{9}$ रखने पर: $(\frac{2}{9})^{5} - 9x(\frac{2}{9}) + 2x = 0 \Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} - 2x + 2x = 0 \Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} = 0$,जो असंभव है। अतः,ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जहाँ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के समानांतर हो,इसलिए $M = 0$. स्पर्शरेखा के $y$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,हर $5y^{4} - 9x = 0$,इसलिए $x = \frac{5y^{4}}{9}$. इसे मूल समीकरण में रखने पर: $y^{5} - 9y(\frac{5y^{4}}{9}) + 2(\frac{5y^{4}}{9}) = 0 \Rightarrow y^{5} - 5y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0 \Rightarrow -4y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0 \Rightarrow y^{4}(-4y + \frac{10}{9}) = 0$. इससे $y = 0$ या $y = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ प्राप्त होता है। यदि $y = 0$,तो $x = 0$. यदि $y = \frac{5}{18}$,तो $x = \frac{5}{9}(\frac{5}{18})^{4}$. अतः,$2$ बिंदु हैं जहाँ स्पर्शरेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $N = 2$. इसलिए,$M + N = 0 + 2 = 2$.

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