मान लीजिए $S$ उन सभी $a \in \mathbb{R}$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिशों $\vec{u} = a(\log_{e} b) \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{v} = (\log_{e} b) \hat{i} + 2 \hat{j} + 2a(\log_{e} b) \hat{k}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,जहाँ $b > 1$ है। तो $S$ किसके बराबर है?

$b$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ का सदिशों $\vec{u} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v} = b\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के योग के समांतर इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ है।

यदि $\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}$,$\overline{b}=2\hat{j}-\hat{k}$ और $\overline{r} \times \overline{a}=\overline{b} \times \overline{a}$,$\overline{r} \times \overline{b}=\overline{a} \times \overline{b}$ है,तो $\frac{\overline{r}}{|\overline{r}|}$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है। कुछ $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ है। यदि $|\vec{c}| = 2$ है और सदिश $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,तो $8 \cos^2 \alpha$ का मान . . . . . है।

माना $\vec{a}=6 \hat{i}+9 \hat{j}+12 \hat{k}$,$\vec{b}=\alpha \hat{i}+11 \hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{c}$ ऐसे सदिश हैं कि $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{a} \cdot \vec{c}=-12$ और $\vec{c} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=5$ है,तो $\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ का मान $.............$ है।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। भुजा $AD$ को समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ द्वारा घुमाया जाता है ताकि $AD$,$AD'$ बन जाए। यदि $AD'$,भुजा $AB$ के साथ समकोण बनाता है,तो कोण $\alpha$ का कोसाइन (cosine) क्या होगा?