ધારો કે z = a + ib, b neq 0 એ એક સંકર સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$.$b 
eq 0$ હોવાથી,$z 
eq 0$,તેથી $|z| = 2^{1-|z|}$.નિરીક્ષણ દ્વારા,$|z| = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$.મૂળ સમીકરણમાં $|z| = 1$ મૂકતા,$z^{2} = \overline{z}$.$z$ વડે ગુણતા,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$.આમ,$z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,એટલે કે $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/3}$.આપણે $n \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે જેથી $z^{n} = (z + 1)^{n}$ થાય.$1 + \omega = -\omega^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ બને છે.આનો અર્થ એ છે કે $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,અથવા $\omega^{n} = (-1)^{n}$.જો $n = 3$ હોય,તો $\omega^{3} = 1$ અને $(-1)^{3} = -1$ (સમાન નથી).જો $n = 6$ હોય,તો $\omega^{6} = 1$ અને $(-1)^{6} = 1$. આમ,$n = 6$ એ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

Similar Questions

જો $z=1-\sqrt{3} i$ હોય,તો $z^3-3 z^2+3 z=$

જો $z_1$ અને $z_2$ કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો $|z_1 + \sqrt{z_1^2 - z_2^2}| + |z_1 - \sqrt{z_1^2 - z_2^2}|$ ની કિંમત શું થાય?

જો $z = x + iy$ $(x, y \in R, x \neq -1/2)$ હોય,તો $|z|^n = z^2|z|^{n-2} + z|z|^{n-2} + 1$ $(n \in N, n > 1)$ નું સમાધાન કરતા $z$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ એ સમીકરણ $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ ના ભિન્ન ઉકેલો છે. તો $|z_1|^2 + |z_2|^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $A = \left\{ \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta} : \theta \in R \right\}$. જો $A$ માં બરાબર એક ધન પૂર્ણાંક $n$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module