माना alpha, beta (alpha beta) द्विघात समीकर | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ और द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 4 = 0$ है।चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = \alpha

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$16$

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(D) दिया गया है $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ और द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 4 = 0$ है।चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = \alpha + 4$ और $\beta^{2} = \beta + 4$ है।$P_{n} - P_{n-1} = (\alpha^{n} - \beta^{n}) - (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-1}(\alpha - 1) - \beta^{n-1}(\beta - 1)$ है।$\alpha^{2} - \alpha = 4$ होने के कारण,$\alpha - 1 = \frac{4}{\alpha}$ और $\beta - 1 = \frac{4}{\beta}$ है।अतः,$P_{n} - P_{n-1} = 4(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) = 4P_{n-2}$ है।अब,व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(P_{15} - P_{14})(P_{16} - P_{15})}{P_{13} P_{14}}$ प्राप्त होता है।संबंध $P_{n} - P_{n-1} = 4P_{n-2}$ का उपयोग करने पर,$P_{15} - P_{14} = 4P_{13}$ और $P_{16} - P_{15} = 4P_{14}$ मिलता है।मान रखने पर: $\frac{(4P_{13})(4P_{14})}{P_{13} P_{14}} = 16$।

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