मान लीजिए N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ क

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सभी $m 
eq n$ के लिए $I_m = I_n$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I_n = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n}(\pi - x)}{\sin^{2n}(\pi - x) + \cos^{2n}(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I_n = \int_0^\pi \frac{\pi \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx$गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:$2I_n = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \implies I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (iii)$इसी प्रकार,$I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2n} x}{\cos^{2n} x + \sin^{2n} x} dx \quad \dots (iv)$$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:$2I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^{\pi/2} 1 dx = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$अतः,$I_n = \frac{\pi^2}{4}$,जो $n$ से स्वतंत्र है। इसलिए,सभी $m, n \in N$ के लिए $I_m = I_n$।

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निश्चित समाकलन $\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\,(\,\,{{\sin }^{ - 1}}(3x - 4{x^3})\,\, - \,\,{{\cos }^{ - 1}}(4{x^3} - 3x)\,\,)\,dx} \,\,$ का मान ज्ञात कीजिए।

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