ધારો કે N એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. n in N | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપ

Vedclass · Accepted Answer

બધા $m 
eq n$ માટે $I_m = I_n$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_n = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n}(\pi - x)}{\sin^{2n}(\pi - x) + \cos^{2n}(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I_n = \int_0^\pi \frac{\pi \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx$ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$2I_n = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \implies I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (iii)$તેવી જ રીતે,$I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2n} x}{\cos^{2n} x + \sin^{2n} x} dx \quad \dots (iv)$$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:$2I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^{\pi/2} 1 dx = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$આમ,$I_n = \frac{\pi^2}{4}$,જે $n$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,બધા $m, n \in N$ માટે $I_m = I_n$.

Similar Questions

$\int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = $

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(a + b - x) = f(x)$ હોય,તો $\int_a^b x f(x) dx = $

$\int_{-1}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module