मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & x 
eq 0 \ 0 & x = 0 \end{cases}$ है।सबसे पहले,$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:$\lim_{x

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अवकलनीय है और इसका अवकलज सतत है

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(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & x 
eq 0 \ 0 & x = 0 \end{cases}$ है।सबसे पहले,$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:$\lim_{x ightarrow 0} f(x) = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x ightarrow 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 \cdot 1 = 0 = f(0)$.चूंकि सीमा फलन के मान के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:$f'(0) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \frac{\frac{\sin(h^2)}{h} - 0}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \frac{\sin(h^2)}{h^2} = 1$.चूंकि सीमा मौजूद है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।अब,$x 
eq 0$ के लिए $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} ight) = \frac{x \cdot \cos(x^2) \cdot 2x - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$.जाँच करें कि क्या $f'(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है:$\lim_{x ightarrow 0} f'(x) = \lim_{x ightarrow 0} \left( 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} ight) = 2(1) - 1 = 1$.चूंकि $\lim_{x ightarrow 0} f'(x) = f'(0) = 1$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है।अतः,$f$ अवकलनीय है और इसका अवकलज सतत है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो,$x=0$ पर,$f$ है

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