फलन f(x) = frac{x}{1+|x|} के अवकलज का प्रांत | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:यदि $x \ge 0$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac

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$(-\infty, \infty)$

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(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:यदि $x \ge 0$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1+x}$।यदि $x अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$।$x $x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ के अवकलज और दाएँ हाथ के अवकलज की जाँच करते हैं:$LHD = \lim_{h 	o 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$।$RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$।चूंकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।अतः,अवकलज सभी वास्तविक संख्याओं $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए मौजूद है।

फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ के अवकलज का प्रांत क्या है?

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$0 \le x \le 1$ के लिए $f(x) = \max \{x^2, (x - 1)^2, 2x(1 - x)\}$ द्वारा परिभाषित फलन:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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