मान लीजिए A उन सदिशों a = (a_1, a_2, a_3) का | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.बाएँ पक्ष का

Vedclass · Accepted Answer

$A$ में केवल एक अवयव है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\frac{a_1^2}{4} + \frac{a_2^2}{16} + \frac{a_3^2}{64} + \frac{a_1 a_2}{4} + \frac{a_2 a_3}{16} + \frac{a_3 a_1}{8} = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.हर को हटाने के लिए $64$ से गुणा करने पर: $16a_1^2 + 4a_2^2 + a_3^2 + 16a_1 a_2 + 4a_2 a_3 + 8a_3 a_1 = 32a_1^2 + 16a_2^2 + 8a_3^2$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $16a_1^2 + 12a_2^2 + 7a_3^2 - 16a_1 a_2 - 4a_2 a_3 - 8a_3 a_1 = 0$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $8(a_1 - a_2)^2 + (2a_2 - a_3)^2 + 2(a_3 - 2a_1)^2 + 4a_3^2 = 0$.चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a_1 - a_2 = 0$,$2a_2 - a_3 = 0$,$a_3 - 2a_1 = 0$,और $a_3 = 0$.यह दर्शाता है कि $a_1 = a_2 = a_3 = 0$.अतः,समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव है,जो शून्य सदिश $(0, 0, 0)$ है।

मान लीजिए $A$ उन सदिशों $a = (a_1, a_2, a_3)$ का समुच्चय है जो $\left(\sum_{i=1}^3 \frac{a_i}{2^i}\right)^2 = \sum_{i=1}^3 \frac{a_i^2}{2^i}$ को संतुष्ट करते हैं। तो,

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