ધારો કે x_k એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી 1 leq | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $n = 2018$. આપણને $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ આપેલ છે.અસમતા $I$ માટે,આપણે કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\sum a_k

Vedclass · Accepted Answer

$I$ અને $II$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $n = 2018$. આપણને $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ આપેલ છે.અસમતા $I$ માટે,આપણે કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$.ધારો કે $a_k = \sqrt{k}$ અને $b_k = \sqrt{k} x_k$. તો:$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$.આમ,$I$ સાચું છે.અસમતા $II$ માટે,આપણે નોંધ્યું કે $k \geq 1$ હોવાથી,બધા $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ માટે $k^2 \geq k$ થાય.તેથી,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$.$I$ સાચું હોવાથી,આપણી પાસે $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ છે.આમ,$II$ પણ સાચું છે.તેથી,$I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

Similar Questions

$15$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા નિયમિત આલેખમાં,શિરોબિંદુઓના અંશનો સરવાળો $60$ છે. તો,દરેક શિરોબિંદુનો અંશ કેટલો છે?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4\}$. $S$ ના પરસ્પર અલગ (disjoint) ઉપગણોની ક્રમરહિત જોડીઓની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module