मान लीजिए x_k वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि 1 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं

Vedclass · Accepted Answer

$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$।मान लीजिए $a_k = \sqrt{k}$ और $b_k = \sqrt{k} x_k$ है। तब:$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।अतः,$I$ सत्य है।असमानता $II$ के लिए,हम देखते हैं कि चूंकि $k \geq 1$ है,इसलिए सभी $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ के लिए $k^2 \geq k$ है।इसलिए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।चूंकि $I$ सत्य है,हमारे पास $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ है।अतः,$II$ भी सत्य है।इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

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यदि $U$ समष्टीय समुच्चय है तथा $A \cup B \cup C = U$,तब ${(A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)}'$ किसके बराबर है?

निम्नलिखित तालिका में लुप्त पद है
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y=f(x) & 1 & 3 & 9 & ? & 81 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $A = \{ x \in R : [x + 3] + [x + 4] \leq 3 \}$ और $B = \{ x \in R : 3^x \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} \right)^{x-3} < 3^{-3x} \}$,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तब,

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