मान लीजिए [x] और {x} क्रमशः एक वास्तविक संख्य | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_0^5 [x]\{x\} dx$ है। चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को विभाजित कर सकते हैं: $I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n

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$5$

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(B) मान लीजिए $I = \int_0^5 [x]\{x\} dx$ है। चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को विभाजित कर सकते हैं: $I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} [x]\{x\} dx$। $x \in [n, n+1)$ के लिए,$[x] = n$ और $\{x\} = x - n$ है। अतः,$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} n(x-n) dx$। मान लीजिए $t = x-n$,तो $dt = dx$। जब $x=n, t=0$ और जब $x=n+1, t=1$। $I = \sum_{n=0}^{4} n \int_0^1 t dt = \sum_{n=0}^{4} n \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^{4} n \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} (0+1+2+3+4) = \frac{10}{2} = 5$।

मान लीजिए $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः एक वास्तविक संख्या $x$ का पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग हैं। समाकलन $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ का मान है

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$\int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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