मान लीजिए f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c जहाँ a, | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. चूँकि $f(2) = 0$,हमारे पास $8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$ है। अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ प्

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$\frac{-14}{3}$

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(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. चूँकि $f(2) = 0$,हमारे पास $8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$ है। अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -\frac{1}{3}$ पर हैं,$f'(1) = 0$ और $f'(-\frac{1}{3}) = 0$ होगा। $f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ ... (ii). $f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2a(-\frac{1}{3}) + b = \frac{1}{3} - \frac{2a}{3} + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - 2a + 3b = 0$ ... (iii). (ii) और (iii) को हल करने पर: $b = -2a - 3$. (iii) में रखने पर: $1 - 2a + 3(-2a - 3) = 0 \Rightarrow 1 - 2a - 6a - 9 = 0 \Rightarrow -8a = 8 \Rightarrow a = -1$. तब $b = -2(-1) - 3 = -1$. $(i)$ से,$8 + 4(-1) + 2(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 - 4 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$. अतः,$f(x) = x^3 - x^2 - x - 2$. हमें $\int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x - 2) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $x^3$ और $-x$ विषम फलन हैं,$[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है। इसलिए,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 - 2) dx = -2 \int_0^1 (x^2 + 2) dx$. $= -2 [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^1 = -2 (\frac{1}{3} + 2) = -2 (\frac{7}{3}) = -\frac{14}{3}$.

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