मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके लिए $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=12^4$ है। तब $|A^{-1} \operatorname{adj} A|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $F(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha \in \mathbb{R}$,तो $[F(\alpha)]^{-1}$ किसके बराबर है?

माना कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 2q & r \\ p & q & -r \\ p & -q & r \end{bmatrix}$ है। यदि $AA^T = I_3$ है,तो $|p|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right]$ है। यदि $u_1$ और $u_2$ ऐसे स्तंभ आव्यूह हैं कि $A{u_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]$ और $A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$,तो $u_1 + u_2$ का मान क्या होगा?

यदि $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint) है और $|A| = 4$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ समीकरण $A^{2} - 4A + I = O$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है और $O$ एक $2 \times 2$ शून्य आव्यूह है। इस समीकरण का उपयोग करके $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।