मान लीजिए कि f अंतराल left[0, frac{pi}{2}righ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$। $x=0$ पर,$f(0) + 0 = e$,अतः $f(0) = e$। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्

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(D) दिया गया है कि $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$। $x=0$ पर,$f(0) + 0 = e$,अतः $f(0) = e$। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$। मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$। मान लीजिए $\ln y = t$,तब $\frac{1}{y} dy = dt$। $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$। $\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$। चूंकि $f(0) = e$,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$। अतः,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$। $x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$। इसलिए,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$। अंत में,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 	imes \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

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