मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं। चार बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,$\lambda \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}$,$-\vec{a}+2 \vec{b}-3 \vec{c}$ और $2 \vec{a}-4 \vec{b}+6 \vec{c}$ हैं। यदि $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $\left|\begin{array}{lll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं जो एक-दूसरे के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाते हैं। यदि $(\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot(\bar{a} \times \bar{c})=5$ है,तो $\left[\begin{array}{lll}\bar{a} & \bar{b} & \bar{c}\end{array}\right]=$

यदि सदिश $2i - 3j + 4k$, $i + 2j - k$ और $xi - j + 2k$ समतलीय हैं, तो $x = $

यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन, जिसकी सह-आदिम कोर (coterminous edges) सदिश $\vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$, $\vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda - 10)\hat{k}$, और $\vec{c} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं, $11$ घन इकाई है, तो $\lambda$ के संभावित मानों का योग है

चार बिंदु जिनके स्थिति सदिश $2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$, $\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$, $3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$ और $\bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ हैं, वे हैं