मान लीजिए कि K,(1+x)^{99} के विस्तार में x की | vedclass

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Question

(C) $(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ है।$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद

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$(50, 101)$

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(C) $(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ है।$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद $a$,$101$ वाँ पद है:$a = {}^{200}C_{100} (2)^{100} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{100} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{100} \cdot 2^{-50} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}$.अब,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{{}^{200}C_{99} \cdot 2^{98}}{{}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}}$ पर विचार करें।गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = \frac{n-r+1}{r} {}^{n}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{{}^{200}C_{99}}{{}^{200}C_{100}} = \frac{100}{101}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{100}{101} \cdot 2^{48} = \frac{25 \cdot 2^2 \cdot 2^{48}}{101} = \frac{2^{50} \cdot 25}{101}$.$\frac{2^{\ell} m}{n}$ के साथ तुलना करने पर,$\ell = 50$,$m = 25$,और $n = 101$ प्राप्त होता है।अतः,क्रमित युग्म $(\ell, n) = (50, 101)$ है।

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