मान लीजिए कि alpha वक्र y^2 = 8x और रेखाओं y | vedclass

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Question

(D) वक्र $y^2 = 8x$ और $y = x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $y = x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^2 = 8x$ मिलता है,अतः $x

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$22$

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(D) वक्र $y^2 = 8x$ और $y = x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $y = x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^2 = 8x$ मिलता है,अतः $x(x - 8) = 0$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(8, 8)$ हैं।हमें प्रथम चतुर्थांश में $y^2 = 8x$,$y = x$ और रेखा $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।$x = 2$ पर,वक्र $y^2 = 8x$ का मान $y = \sqrt{16} = 4$ है (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है),और रेखा $y = x$ का मान $y = 2$ है।क्षेत्रफल $\alpha$ का मान $x = 2$ से $x = 8$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$\alpha = \int_{2}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx$$\alpha = \int_{2}^{8} (2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - x) \, dx$$\alpha = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$$\alpha = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2} - \frac{2^2}{2} \right)$$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - 2 \right)$$\alpha = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} - 2 \right)$$\alpha = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} + 2 = \frac{112}{3} - 30 = \frac{112 - 90}{3} = \frac{22}{3}$अतः,$3\alpha = 3 \cdot \frac{22}{3} = 22$।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

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