ધારો કે sum_{n=0}^{infty} frac{n^3((2n)!) + ( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.તેથી

Vedclass · Accepted Answer

$26$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.તેથી,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.$e$ અને $e^{-1}$ ની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ અને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.અહીં $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.તેથી,સરવાળો $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ થાય.$ae + be^{-1} + c$ સાથે સરખાવતા,$a=5, b=-1, c=0$ મળે.તેથી,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

ધારો કે $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3((2n)!) + (2n-1)(n!)}{(n!)((2n)!)} = ae + \frac{b}{e} + c$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$ અને $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$. તો $a^2 - b + c$ ની કિંમત $................$ છે.

Similar Questions

$1 + \frac{2^4}{2!} + \frac{3^4}{3!} + \frac{4^4}{4!} + \dots \infty = $

$\frac{e^{4x} - 1}{e^{2x}}$ ના વિસ્તરણમાં,$x^2$ નો સહગુણક શું છે?

$\frac{1}{1!} + \frac{1 + 2}{2!} + \frac{1 + 2 + 2^2}{3!} + .....\infty = $

$\frac{2}{3!} + \frac{4}{5!} + \frac{6}{7!} + \dots \infty = $

ધારો કે $S_{n} = 1 \cdot (n-1) + 2 \cdot (n-2) + 3 \cdot (n-3) + \dots + (n-1) \cdot 1$,$n \geq 4$ માટે. સરવાળો $\sum_{n=4}^{\infty} \left( \frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} \right)$ કોના બરાબર છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module