ધારો કે $A = [a_{ij}]$,જ્યાં $a_{ij} \in \mathbb{Z} \cap [0, 4]$ અને $1 \leq i, j \leq 2$. શ્રેણિક $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી તમામ ઘટકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા $p \in (2, 13)$ હોય $........$.

જો $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ અને $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ હોય,તો $\Delta _1 \Delta _2$ ની કિંમત શોધો.

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin \theta } & {\cos \theta } \\ {\sin \theta } & { - x} & 1 \\ {\cos \theta } & 1 & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin 2\theta } & {\cos 2\theta } \\ {\sin 2\theta } & { - x} & 1 \\ {\cos 2\theta } & 1 & x \end{array}} \right|$,$x \ne 0$ હોય; તો તમામ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$ માટે:

ધારો કે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$. તો $\det(2A^9B^{-1})$ નું મૂલ્ય શોધો.

$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|, x \in R$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\det(A^4) + \det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10})$ ની કિંમત ........ છે.