ધારો કે $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,જ્યાં $x > 0$. તો $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $F(x)$ એ $\sin ^2 x$ નું અનિયત સંકલન છે.
વિધાન -$1$ : વિધેય $F(x)$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $F(x+\pi)=F(x)$ નું પાલન કરે છે. કારણ કે
વિધાન -$2$: તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $\sin ^2(x+\pi)=\sin ^2 x$ છે.

List-$I$ માંથી નીચેની વસ્તુઓને List-$II$ માં જોડો. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

$\int \sqrt{1 + \csc x} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int \frac{\sin \theta \cdot \sin 2 \theta \left(\sin ^{6} \theta+\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta+3 \sin ^{2} \theta+6}}{1-\cos 2 \theta} d \theta$ નું મૂલ્ય શોધો (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે).

$\int e^{2 x}\left[\cos (3 x+4)+5 x^2\right] d x=$