मान लीजिए O मूल बिंदु है और OP तथा OQ वृत्त x | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(3, -2)$ है।चूँकि $OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $

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$\frac{5}{2}$

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(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(3, -2)$ है।चूँकि $OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle OPO = 90^\circ$ और $\angle OQO = 90^\circ$ है।अतः,$OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O$ और केंद्र $C(3, -2)$ पर समकोण बनाते हैं।$OC$ को व्यास मानकर बनाया गया वृत्त $	riangle OPQ$ का परिवृत्त है।$O(0, 0)$ और $C(3, -2)$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण:$(x-0)(x-3) + (y-0)(y+2) = 0$$x^2 - 3x + y^2 + 2y = 0$$x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0$यह वृत्त $(\alpha, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है,इसलिए:$\alpha^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3\alpha + 2(\frac{1}{2}) = 0$$\alpha^2 + \frac{1}{4} - 3\alpha + 1 = 0$$\alpha^2 - 3\alpha + \frac{5}{4} = 0$$4\alpha^2 - 12\alpha + 5 = 0$$(2\alpha - 1)(2\alpha - 5) = 0$अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

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