ધારો કે f એક સતત વિધેય છે જે int limits_0^{t^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ છે. બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ છે. બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને): $\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$. ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$. $(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$. $t > 0$ હોવાથી,$2t$ વડે ભાગતા: $f(t^2) + t^4 = 2t$. $f(t^2) = 2t - t^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ શોધવા માટે,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ લેતા,જેનો અર્થ છે $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ હોવાથી). $t = \frac{\pi}{2}$ ને $f(t^2)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$. $\pi$ સામાન્ય કાઢતા: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

ધારો કે $f$ એક સતત વિધેય છે જે $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ નું પાલન કરે છે. તો $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો $f(x) = \int_{x^2}^{x^4} \sin \sqrt{t} \, dt$ હોય,તો $f'(x)$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_0^{\pi /2} \sin^5 x \, dx = $

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[0, \pi]$ માં સમીકરણ $\frac{d}{dx} \int_{\cos x}^{\sin x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2\sqrt{2}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module