मान लीजिए कि $Q$ और $R$ बिंदु $P(a, a, a)$ से रेखाओं $x=y, z=1$ और $x=-y, z=-1$ पर डाले गए लंब के पाद हैं। यदि $\angle QPR$ एक समकोण है,तो $12a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल $8x+y+2z=0$ और बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ तथा $B(2,4,-3)$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। यदि $a, b, c$ ($|a|, |b|, |c|$ सह-अभाज्य हैं) बिंदु $C$ से रेखा $\frac{1-x}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{3}$ पर डाले गए लंब के दिक अनुपात हैं,तो $|a+b+c|$ का मान $.............$ है।

बिंदु $(1, 0, 2)$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 16$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना $P_1$ समतल $3x - y - 7z = 11$ है और $P_2$ बिंदुओं $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,और $(5, 1, 1)$ से गुजरने वाला समतल है। यदि बिंदु $(7, 4, -1)$ से समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा पर खींचे गए लंब का पाद $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान $............$ है।

मान लीजिए कि एक समतल $P$ दो रेखाओं $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(\hat{i} + \hat{j}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = -\hat{j} + \mu(\hat{j} - \hat{k}), \mu \in R$ को समाहित करता है। यदि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $M(1, 0, 1)$ से $P$ पर खींचे गए लंब का पाद है,तो $3(\alpha + \beta + \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।