ધારો કે alpha એક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ છે.
બ

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-\alpha x}] = 3 e^{-\alpha x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$f(x) e^{-\alpha x} = \int 3 e^{-\alpha x} dx = -\frac{3}{\alpha} e^{-\alpha x} + C$.
આમ,$f(x) = -\frac{3}{\alpha} + C e^{\alpha x}$.
આપેલ છે કે $f(0) = 2$,તેથી $2 = -\frac{3}{\alpha} + C$,એટલે કે $C = 2 + \frac{3}{\alpha}$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1$.
જો $\alpha > 0$ હોય,તો $x \rightarrow -\infty$ માટે $e^{\alpha x} \rightarrow 0$,તેથી $f(x) \rightarrow -\frac{3}{\alpha} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -3$. આ $\alpha > 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
જો $\alpha < 0$ હોય,તો $x \rightarrow -\infty$ માટે $e^{\alpha x} \rightarrow \infty$. લક્ષ $1$ થવા માટે,$e^{\alpha x}$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી $C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2 + \frac{3}{\alpha} = 0$,એટલે કે $\alpha = -\frac{3}{2}$.
ત્યારબાદ $f(x) = -\frac{3}{-3/2} = 2$. કારણ કે $f(x) = 2$ એ અચળ વિધેય છે,તેથી $f'(x) = 0$. સમીકરણ $f'(x) = \alpha f(x) + 3$ માં કિંમત મૂકતા $0 = (-3/2)(2) + 3 = 0$ મળે છે,જે સુસંગત છે.
આમ,તમામ $x$ માટે $f(x) = 2$.
તેથી,$f(-\log_e 2) = 2$.

Similar Questions

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ નો ઉકેલ છે. તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો: $[y(1) = 0]$

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module